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9.3: Equilibrio de fuerzas y análisis dimensional - Geociencias

9.3: Equilibrio de fuerzas y análisis dimensional - Geociencias


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Podríamos adoptar cualquiera de dos enfoques en este punto: hacer un análisis dimensional para desarrollar un marco gráfico para expresar y organizar racionalmente los resultados de la observación, o intentar desarrollar una solución analítica. Desafortunadamente, este enfoque analítico resulta ser de poca más ayuda que un simple análisis dimensional, por dos razones: irregularidad de la geometría y complejidades de la fuerza del fluido en sí.

Equilibrio de fuerzas

Las partículas comienzan a moverse en el lecho cuando las fuerzas combinadas de elevación y arrastre producidas por el fluido se vuelven lo suficientemente grandes como para contrarrestar la gravedad y las fuerzas de fricción que mantienen la partícula en su lugar. Es imposible definir el equilibrio de fuerzas o momentos que actúan sobre las partículas de forma única para todos los granos: algunas partículas se encuentran en posiciones desde las que se pueden levantar, deslizar o rodar más fácilmente que otras. Es igualmente imposible definir una fuerza de fluido única que se aplique a todas las partículas: algunas partículas están más expuestas al flujo y sometidas a fuerzas de fluido más grandes que otras partículas, y las fuerzas de fluido en el lecho fluctúan con el tiempo debido a la turbulencia en el flujo. .

Comenzaremos considerando una partícula promedio, en una posición promedio sobre el lecho, sometida a una fuerza de fluido promedio; volveremos más adelante al problema de una definición adecuada de estos promedios. Para simplificar aún más las cosas, suponga que la fricción evita el deslizamiento de una partícula más allá de otra y que la partícula en movimiento simplemente gira alrededor de un eje normal a la dirección del flujo. Entonces, la condición para el comienzo del movimiento es que los momentos que tienden a rotar la partícula corriente abajo estén simplemente equilibrados por los momentos (en el sentido opuesto) que tienden a mantener el grano en su lugar (Figura 9.2.4).

Para determinar exactamente el momento de la fuerza del fluido, tendríamos que sumar todos los productos de las fuerzas por sus distancias normales desde las líneas de acción hasta el eje de pivote. Podemos simplificar aún más asumiendo que el lecho es horizontal y considerando, al principio, solo las fuerzas de arrastre. Entonces es conveniente considerar solo aquellos componentes de la gravedad y las fuerzas de arrastre que actúan de manera normal a la línea que une el pivote con el centro de gravedad de la partícula.

El momento total producido por la suma de las fuerzas corporales (como las fuerzas de gravedad que actúan sobre cada elemento de volumen que forma la partícula) es el mismo que la fuerza total multiplicada por la distancia del centro de gravedad al pivote. Puede ver fácilmente que si dividimos la fuerza de gravedad en dos componentes, normales y paralelos a la línea que une el pivote con el centro de gravedad, entonces el momento debido al segundo de estos componentes debe ser igual a cero, porque ese componente tiene una línea de acción que pasa por el pivote. Entonces podemos escribir la condición para el comienzo del movimiento como

[a_ {1} left (F_ {G} sin alpha right) = a_ {2} (F_ {D} cos alpha) label {9.1} ]

El lado izquierdo de la Ecuación ref {9.1} es el momento total debido a la gravedad, que tiende a rotar el grano corriente arriba alrededor del pivote oa mantenerlo en su lugar contra el momento debido a las fuerzas de arrastre del fluido que tienden a rotar la partícula corriente abajo. El lado derecho representa este momento de arrastre fluido de una manera puramente convencional. El momento de arrastre debe calcularse realmente como la integral de todos los productos de las fuerzas de arrastre que actúan sobre cada elemento de la superficie, multiplicado por la distancia normal de cada una de estas fuerzas desde el pivote. Pero debido a que no conocemos la distribución de las fuerzas de arrastre sobre la superficie de la partícula, no hay forma de que podamos evaluar esa integral, por lo que se representa convencionalmente simplemente como un producto del componente total de arrastre, (F_ { D} cos alpha ), que se opone al componente total de la gravedad, (F_ {G} sin alpha ), multiplicado por una distancia normal (a_ {2} ). El valor de (a_ {2} ) no se puede determinar analíticamente, por lo que (a_ {2} ) es en realidad un "factor fudge" que se elige para equilibrar la ecuación.

La fuerza de gravedad (F_ {G} ) se puede escribir

[F_ {G} = c_ {1} D ^ {3} gamma ^ { prime} label {9.2} ]

donde (c_ {1} ) es un coeficiente que tiene en cuenta la forma de la partícula. Se puede suponer que la fuerza de arrastre del fluido (F_ {D} ) es igual al esfuerzo cortante en el límite promedio multiplicado por el área del grano, y se puede escribir

[F_ {D} = c_ {2} D ^ {2} tau _ { mathrm {o}} label {9.3} ]

donde el coeficiente (c_ {2} ) toma en cuenta no solo la geometría y empaquetamiento de los granos (que determina el “área del grano”) sino también la variación del coeficiente de arrastre. Por lo tanto, se puede esperar que (c_ {2} ) varíe con el número de Reynolds límite. Sustituyendo las ecuaciones ref {9.2} y ref {9.3} por (F_ {G} ) y (F_ {D} ) en la ecuación ref {9.1} y escribiendo ( tau _ { text {o} } = tau_ {c} ) para la condición crítica da

[a_ {1} c_ {1} D ^ {3} gamma ^ { prime} sin alpha = a_ {2} c_ {2} D ^ {2} tau_ {c} cos alpha etiqueta {9.4} ]

o, resolviendo para ( tau_ {c} ),

[ tau_ {c} = frac {a_ {1} c_ {1}} {a_ {2} c_ {2}} gamma ^ { prime} D tan alpha label {9.5} ]

La ecuación ref {9.5} puede hacerse adimensional dividiendo ambos lados por ( gamma ^ { prime} D ):

[ beta_ {c} = frac { tau_ {c}} { gamma ^ { prime} D} = frac {a_ {1} c_ {1}} {a_ {2} c_ {2}} tan alpha label {9.6} ]

donde ( beta_ {c} ), el valor crítico de una variable adimensional ( tau_ {0} / gamma ^ { prime} D ), llamada Escudos ( bf { beta} ) o el Parámetro de escudos, debe esperarse que sea una función de la geometría del grano y el número de Reynolds de límite. (El parámetro Shields lleva el nombre de un ingeniero estadounidense que puso por primera vez el estudio del movimiento incipiente sobre una base racional en la década de 1930 mientras trabajaba en un laboratorio de hidráulica en Alemania).

Lo que nos dice la ecuación ref {9.6} es que el parámetro Shields es una función de un término que depende en sí mismo de varios efectos, tanto geométricos como dinámicos.
Las cantidades (a_ {1} ), (c_ {1} ) y ( tan alpha ) son geométricas y dependen de la forma del grano y del empaquetamiento del grano. Las cantidades (a_ {2} ) y (c_ {2} ) también son en parte geométricas, pero también incluyen una dependencia de los detalles del flujo alrededor de los granos y las distribuciones resultantes de las fuerzas de presión y las fuerzas viscosas, y por lo tanto, son función del número de Reynolds de frontera. No podemos avanzar más allá de la Ecuación ref {9.6} sin saber más sobre los detalles de esta dependencia (Re _ {*} ), por no hablar del problema de tener en cuenta la forma y el empaquetamiento de las partículas.

El análisis anterior no es muy diferente si se considera la sustentación además de la resistencia, porque debe haber una proporcionalidad entre las dos fuerzas que también depende solo de la geometría del grano y el número de Reynolds de límite.

Al derivar la ecuación ref {9.6} se asumió que la pendiente del lecho es insignificante. Si este no es el caso, entonces se muestra fácilmente que ( sin alpha ) en la Ecuación ref {9.6} debe reemplazarse por ( sin ( alpha- phi) ), donde ( phi ) es el ángulo de la pendiente (positivo en la dirección aguas abajo). Entonces, si otras condiciones permanecen iguales, el aumento de la pendiente del lecho disminuye el valor crítico de ( beta ).

En la literatura han aparecido muchos otros enfoques teóricos del movimiento incipiente, en la misma línea que el anterior, pero que también tienen en cuenta otros efectos, como las fuerzas de elevación y la pendiente del lecho. Ninguno nos lleva mucho más lejos que el análisis simplificado anterior.

Análisis dimensional

La lista de variables que deberían describir la condición del movimiento incipiente es bastante sencilla (Figura ( PageIndex {1} )): ( tau _ { text {o}} ), (D ), ( rho ), ( mu ), ( rho_ {s} ) y ( gamma ^ { prime} ). La profundidad del flujo no debería ser importante, porque las partículas se encuentran en la capa interna de una capa límite turbulenta (ver Capítulo 4 de la Parte I), en la que solo la estructura local del flujo gobierna las fuerzas que sienten las partículas del lecho.

Puede pensar que la densidad de sedimentos ( rho_ {s} ) no tiene nada que ver aquí, porque el sedimento no se mueve (por definición). En realidad, podría ser importante, sin embargo, porque afecta la escala de tiempo de la respuesta de la partícula a una aceleración repentina del flujo: en igualdad de condiciones, cuanto más densa sea la partícula, menos rápidamente se acelerará en respuesta a un aumento repentino. en la fuerza del fluido resultante a un valor lo suficientemente grande como para mover la partícula. Y eso es importante para el movimiento incipiente, porque la partícula puede ser sacada de su posición de reposo por un remolino pasajero inusualmente fuerte, solo para caer de regreso y no sufrir un desplazamiento permanente.

Dos puntos sobre la lista de variables anterior merecen un comentario adicional. La primera tiene que ver con la elección de ( tau _ { text {o}} ) como la variable que caracteriza la fuerza del flujo. Debido a que en el material de los capítulos anteriores sobre el flujo alrededor de una esfera la fuerza de arrastre estaba relacionada con una velocidad, podría preguntarse razonablemente por qué no usar una velocidad en lugar de ( tau _ { text {o}} ). Una respuesta es que, después de todo, lo que mueve los granos es básicamente una fuerza que actúa sobre el lecho, por lo que el esfuerzo cortante en el límite es una elección más lógica que cualquier velocidad. (Podría responder razonablemente que la fuerza en sí es causada por la velocidad local del flujo alrededor de los granos). Otra respuesta es que es difícil especificar exactamente qué velocidad debe usarse. Las velocidades que se miden con mayor facilidad (la velocidad media del flujo (U ) o la velocidad de la superficie (U_ {s} )) no están, de manera clara o directa, relacionadas con la velocidad medida cerca del lecho, que es lo que determina la fuerza que tiende a mover los granos. Si usáramos la velocidad media, tendríamos que agregar otra variable, la profundidad del flujo, porque las mismas velocidades medias pueden dar lugar a diferentes velocidades cercanas al lecho, o esfuerzos cortantes, si la profundidad del flujo es diferente. Para solucionar estos problemas, siempre ha parecido más natural usar ( tau _ { text {o}} ) en lugar de una velocidad, pero recuerde que una gráfica o criterio para el movimiento incipiente en términos de ( tau _ { text {o}} ) (como el famoso diagrama de Shields, presentado a continuación) siempre se puede reformular en una forma que involucre la velocidad y la profundidad del flujo, si lo que más le interesa es la velocidad.

El segundo punto es que al enumerar las variables he elegido combinar la gravedad (g ) y la densidad del sedimento ( rho_ {s} ) en una sola variable con la densidad del fluido: ( gamma ^ { prime} = g left ( rho_ {s} - rho right) ). Esto equivale a asumir que el único efecto importante tanto de la gravedad como de la densidad de las partículas es controlar el peso sumergido de la partícula. Suponemos que las ondas de gravedad superficiales en el fluido no son importantes, lo que equivale a suponer que el flujo no es lo suficientemente superficial como para que el movimiento del fluido sobre los granos afecte la superficie libre. Esta es claramente una suposición inválida para ríos con lecho de grava muy poco profundos.

Por lo tanto, debe esperar lidiar con tres variables adimensionales independientes y, por lo tanto, poder expresar la condición para el movimiento incipiente como una superficie en un gráfico tridimensional. Uno de estos puede ser el coeficiente de densidad ( rho_ {S} / rho ). Los otros dos deben involucrar a ( tau _ { text {o}} ), (D ), ( mu ) y ( gamma ^ { prime} ). Las variables tradicionales han sido el número de Reynolds límite ( rho u _ {*} D / mu ) y el parámetro Shields ( tau_ {0} / gamma ^ { prime} D ), ya presentado anteriormente.

[ text {umbral} = f left ( rho, mu, gamma, D, tau_ {0} right) label {9.7} ]

y, no dimensionalizante,

[ frac { tau_ {c}} { gamma ^ { prime} D} = f left ( frac { rho u _ {*} D} { mu} right) label {9.8} ]

donde ( tau_ {c} ) es el valor umbral del esfuerzo cortante del lecho.

Ya conoce la importancia hidráulica del número de Reynolds límite: caracteriza la naturaleza o estructura del flujo cerca del lecho. Y recuerde del Capítulo 8 que el parámetro Shields también tiene un significado físico real: al multiplicar la parte superior e inferior del parámetro Shields por (D ^ {2} ) puede ver que es proporcional a la relación de la fuerza del fluido en la partícula al peso de la partícula. El efecto de la relación de densidad ( rho_ {s} / rho ) aún no está claro, pero se sabe que no es grande y, de todos modos, la mayoría de los problemas de sedimentos involucran sedimentos de densidad de cuarzo en el agua.

Entonces, con solo mirar la estructura dimensional del problema del movimiento incipiente, hemos llegado a la misma conclusión que del análisis de equilibrio de fuerzas, expresado por la Ecuación ref {9.6}, en la sección anterior.


Ver el vídeo: TER 10 Análisis dimensional para Fuerza y Presión